Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

Étape 3.2

Simplifiez $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

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Étape 3.2.1

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

Étape 3.2.2

Associez $- 20$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $60$ de $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

Étape 3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{59}{3}$ dans le numérateur.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

Étape 3.4.4

Déplacez $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = - 36$ et $c = - 3 x - 59$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 24$ par $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.6

Additionnez $1296$ et $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.7

Factorisez $24$ à partir de $72 x + 2712$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $24 (3 x + 113)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

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Étape 3.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.5

Multipliez $- 24$ par $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.6

Additionnez $1296$ et $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.7

Factorisez $24$ à partir de $72 x + 2712$ .

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Étape 3.8.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.8

Réécrivez $24 (3 x + 113)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

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Étape 3.8.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.5

Multipliez $- 24$ par $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.6

Additionnez $1296$ et $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.7

Factorisez $24$ à partir de $72 x + 2712$ .

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Étape 3.9.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.8

Réécrivez $24 (3 x + 113)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

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Étape 3.9.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.9.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Étape 3.9.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 3.9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 3.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ et $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (3 x + 113) \geq 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (3 x + 113) \geq 0$ par $6$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $3 x + 113$ par $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $113$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x \geq - 113$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x \geq - 113$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x \geq - 113$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Étape 5.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{113}{3}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ est le domaine de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Étape 6