Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ comme une équation.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{x^{3}}$

Étape 5.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} \geq 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 5.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 5.4.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ se trouve sur la plage de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ est le domaine de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Étape 6