Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 1$

Étape 2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 3 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 1 = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 4.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 4.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 4.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 6