Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ comme une équation.

$y = 2 x^{2} + 5 x + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} + 5 y + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} + 5 y + 4 = x$ .

$2 y^{2} + 5 y + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 5 y + 4 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 5$ et $c = 4 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.6

Soustrayez $32$ de $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $32$ de $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 5 + \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.6.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{- 7 + 8 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{- 7 + 8 x})}{4}$

Étape 3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{- 7 + 8 x})$ .

$y = \frac{- 1 (5 - \sqrt{- 7 + 8 x})}{4}$

Étape 3.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6

Soustrayez $32$ de $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Étape 3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 - \sqrt{- 7 + 8 x}$ .

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Étape 3.7.4.1

Remettez dans l’ordre $- 7$ et $8 x$ .

$y = \frac{- 5 - \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 3.7.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{8 x - 7}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{8 x - 7})}{4}$

Étape 3.7.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (\sqrt{8 x - 7})$ .

$y = \frac{- 1 (5 + \sqrt{8 x - 7})}{4}$

Étape 3.7.4.5

Réécrivez $- 1 (5 + \sqrt{8 x - 7})$ comme $- (5 + \sqrt{8 x - 7})$ .

$y = \frac{- (5 + \sqrt{8 x - 7})}{4}$

Étape 3.7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ et $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{7}{8}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 7 + 8 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 7 + 8 x \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’inégalité.

$8 x \geq 7$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x \geq 7$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x \geq 7$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{7}{8}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{7}{8}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{7}{8}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{7}{8}, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ est le domaine de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Étape 6