Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{t}{e^{t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{t})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{t} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 2.3

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$\frac{e^{t} - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} - t e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{t} t + e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 4.2

Factorisez $e^{t}$ à partir de $- e^{t} t + e^{t}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $e^{t}$ à partir de $- e^{t} t$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 4.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1}{e^{2 t}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $e^{t}$ à partir de $e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1$ .

$\frac{e^{t} (- t + 1)}{e^{2 t}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $e^{t}$ et $e^{2 t}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $e^{t} (- t + 1)$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t}}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- t} (- t + 1)}{1}$

Étape 4.3.2.4

Divisez $e^{- t} (- t + 1)$ par $1$ .

$e^{- t} (- t + 1)$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- t} (- t) + e^{- t} \cdot 1$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Étape 4.6

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$- e^{- t} t + e^{- t}$

Étape 4.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- t} t + e^{- t}$ .

$- t e^{- t} + e^{- t}$