Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (x) - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 \cos (x) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$3 + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 3}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Divisez $- 3$ par $1$ .

$3 - 3 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$3 - 3 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$3 - 3 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$3 - 3 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$3 - 3 \tan (x) = 0$

Étape 13

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \tan (x) = - 3$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $- 3 \tan (x) = - 3$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \tan (x) = - 3$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Divisez $- 3$ par $- 3$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 17

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 18

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 18.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 18.2

Associez les fractions.

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Étape 18.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 18.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 18.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 18.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 19

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 \sin (\frac{π}{4}) - 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 21.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 21.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 21.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 21.1.5

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2

Simplifiez les termes.

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Étape 21.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 21.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 21.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 21.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 21.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 21.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 21.2.3.2.4

Divisez $- 3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$- 3 \sqrt{2}$

Étape 22

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 23.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 23.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 23.2.1.4

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 23.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2.2.2

Additionnez $3 \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 23.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 23.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 23.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 23.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 23.2.2.3.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2}$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $3 \sqrt{2}$ .

$y = 3 \sqrt{2}$

Étape 24

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 \sin (\frac{5 π}{4}) - 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 25.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{4})) - 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 25.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 25.1.3

Multipliez $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 25.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 25.1.3.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 25.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 25.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 25.1.6

Multipliez $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 25.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 25.1.6.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2

Simplifiez les termes.

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Étape 25.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.2

Additionnez $3 \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 25.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 25.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 25.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 25.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 25.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 25.2.3.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Étape 26

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local

Étape 27

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 27.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{5 π}{4}) + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- \sin (\frac{π}{4})) + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2.1.3

Multipliez $3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 27.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 27.2.1.5

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 27.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 27.2.1.7

Multipliez $3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 27.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 27.2.1.7.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 27.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 27.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 27.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 27.2.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 27.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 27.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 27.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 27.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 27.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 27.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 27.2.2.3.2.4

Divisez $- 3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 3 \sqrt{2}$

Étape 27.2.3

La réponse finale est $- 3 \sqrt{2}$ .

$y = - 3 \sqrt{2}$

Étape 28

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, 3 \sqrt{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{4}, - 3 \sqrt{2})$ est un minimum local

Étape 29