Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (\sqrt{x}) (\sqrt[3]{x})$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $x^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x}]$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[3]{x}]$

Étape 1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $x^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{2}{6}}]$

Étape 1.6

Réécrivez $x^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[6]{x^{2}}]$

Étape 2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3} x^{2}}]$

Étape 3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3 + 2}}]$

Étape 3.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{5}}]$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{5}{6}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{5}{6 x^{\frac{1}{6}}}$