Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{3} + 2 x) e^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + 2 x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{3} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + e^{x} \cdot 2$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 2 e^{x}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{3} + 2 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$