Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ et $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1] + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + 0) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.9

Additionnez $8 x + 3$ et $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.16

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + 0)$

Étape 2.18

Additionnez $6 x - 2$ et $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $1$ à partir de $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Étape 3.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Étape 3.2

Multipliez $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ par $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Développez $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 x^{2} (8 x) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 8 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$3 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot 8 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \cdot 8 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.7

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.8

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.9

Multipliez $8$ par $5$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.2.10

Multipliez $5$ par $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.3

Soustrayez $16 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.4

Additionnez $- 6 x$ et $40 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Étape 3.3.5

Développez $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 x^{2} (6 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.2.1

Déplacez $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.6.1

Déplacez $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.8

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.9

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 2$

Étape 3.3.6.10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Étape 3.3.7

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $18 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Étape 3.3.8

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Étape 3.4

Additionnez $24 x^{3}$ et $24 x^{3}$ .

$48 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Étape 3.5

Additionnez $- 7 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 34 x + 15 - 12 x + 2$

Étape 3.6

Soustrayez $12 x$ de $34 x$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 15 + 2$

Étape 3.7

Additionnez $15$ et $2$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 17$