Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 6 x - 7$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

Étape 2.7

Additionnez $2 x + 6$ et $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Étape 3.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

Étape 3.4

Développez $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.6

Multipliez $2$ par $12$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.7

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.8

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.9

Multipliez $12$ par $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

Étape 3.5.10

Multipliez $6$ par $- 14$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

Étape 3.6

Additionnez $24 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

Étape 3.7

Additionnez $- 28 x$ et $72 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$