Calcul infinitésimal Exemples

$c (x) = 15000 + 30 x e^{\frac{x}{800}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15000 + 30 x e^{\frac{x}{800}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$ .

$\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$

Étape 1.2

Comme $15000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x e^{\frac{x}{800}}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{800}}]$ .

$0 + 30 \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{800}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{\frac{x}{800}}$ .

$0 + 30 (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{800}}] + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{800}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{800}$ .

$0 + 30 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + 30 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{800}$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Comme $\frac{1}{800}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{800}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{800} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{800}$ par $1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} \frac{1}{800}) + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Étape 2.8

Associez $e^{\frac{x}{800}}$ et $\frac{1}{800}$ .

$0 + 30 (x \frac{e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Étape 2.9

Associez $x$ et $\frac{e^{\frac{x}{800}}}{800}$ .

$0 + 30 (\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{\frac{x}{800}}$ par $1$ .

$0 + 30 (\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + 30 \frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $30$ et $\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800}$ .

$0 + \frac{30 (x e^{\frac{x}{800}})}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $800$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $30 x e^{\frac{x}{800}}$ .

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $800$ .

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{10 (80)} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{10 \cdot 80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$ .

$\frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$