Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \sqrt[3]{t^{2} - 5} {(3 t - 5)}^{3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t^{2} - 5}$ comme ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ et $g (t) = {(3 t - 5)}^{3}$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [{(3 t - 5)}^{3}] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = 3 t - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \cdot {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + 0) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot 3 + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ et $g (t) = t^{2} - 5$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{{(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 10.3

Placez ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ et ${(3 t - 5)}^{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Étape 13

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)$

Étape 14.2

Associez $2$ et $\frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} t$

Étape 14.3

Associez $\frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ et $t$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15

Pour écrire $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot \frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 16

Associez $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ et $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19

Multipliez ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{27 ({(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 20

Simplifiez $27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{27 (t^{2} - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.2.1

Factorisez ${(3 t - 5)}^{2}$ à partir de $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

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Étape 21.2.1.1

Factorisez ${(3 t - 5)}^{2}$ à partir de $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.1.2

Factorisez ${(3 t - 5)}^{2}$ à partir de $2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.1.3

Factorisez ${(3 t - 5)}^{2}$ à partir de ${(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.2

Multipliez $27$ par $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (2 (3 t) + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t - 10) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t \cdot t - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.7

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.2.7.1

Déplacez $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 (t \cdot t) - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.7.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t^{2} - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.8

Additionnez $27 t^{2}$ et $6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 135 - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 10 t - 135)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$