Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ comme ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 5}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Étape 5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Étape 7

Soustrayez $6$ de $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ et $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Étape 8.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Étape 8.4

Séparez les fractions.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Étape 8.5

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 8.6

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 8.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 8.8

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Étape 8.9

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Étape 8.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Étape 8.10

Associez $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Étape 8.11

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Étape 8.12

Séparez les fractions.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Étape 8.13

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 8.14

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.15

Multipliez $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

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Étape 8.15.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Étape 8.15.2

Associez $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Étape 8.16

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Étape 8.17

Séparez les fractions.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Étape 8.18

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 8.19

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.20

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.21

Séparez les fractions.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.22

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.23

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.24

Simplifiez

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Étape 8.24.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.24.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.24.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.24.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 8.25

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.25.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Étape 8.25.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 8.25.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Étape 8.25.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Étape 8.25.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 8.26

Séparez les fractions.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 8.27

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 8.28

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 8.29

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 8.30

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.30.1

Déplacez $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Étape 8.30.2

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 8.30.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Étape 8.30.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Étape 8.30.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Étape 8.31

Divisez $5$ par $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$