Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$ comme ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{- 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sec (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\sec (x) \tan (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2.3

Associez $\sec (x)$ et $\frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\sec (x) \cdot 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Étape 5.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Étape 5.2.5

Associez $\tan (x)$ et $\frac{2 \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\tan (x) (2 \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$

Étape 5.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$- \frac{2 \tan (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$