Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Étape 4.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Étape 5.3

Factorisez $3 e^{3 x} x^{2}$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 e^{3 x} x^{2}$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 e^{3 x} x^{2}$ à partir de $- 3 e^{3 x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)}{e^{6 x}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 e^{3 x} x^{2}$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)}{e^{6 x}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{6 x}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)}{1}$

Étape 5.4.2.4

Divisez $3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$ par $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{- 3 x} x^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Étape 5.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Étape 5.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1

Déplacez $x$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x \cdot x^{2}) \cdot - 1$

Étape 5.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x^{1} x^{2}) \cdot - 1$

Étape 5.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{1 + 2} \cdot - 1$

Étape 5.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{3} \cdot - 1$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$

Étape 5.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$ .

$3 x^{2} e^{- 3 x} - 3 x^{3} e^{- 3 x}$