Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{2 x - 6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 4$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

$\frac{(2 x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + 0)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \cdot 2}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 12 x + 8$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x) - 6)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x + 2 \cdot - 3)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x - 3))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x - 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{4 {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 6 x + 4}{2 {(x - 3)}^{2}}$