Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x}}{9 x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 x e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 18 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x)$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$