Calcul infinitésimal Exemples

$F (X) = \frac{e^{X}}{X^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d X} [\frac{f (X)}{g (X)}]$ est $\frac{g (X) \frac{d}{d X} [f (X)] - f (X) \frac{d}{d X} [g (X)]}{{g (X)}^{2}}$ où $f (X) = e^{X}$ et $g (X) = X^{5}$ .

$\frac{X^{5} \frac{d}{d X} [e^{X}] - e^{X} \frac{d}{d X} [X^{5}]}{{(X^{5})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(X^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{X^{5} \frac{d}{d X} [e^{X}] - e^{X} \frac{d}{d X} [X^{5}]}{X^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{X^{5} \frac{d}{d X} [e^{X}] - e^{X} \frac{d}{d X} [X^{5}]}{X^{10}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d X} [a^{X}]$ est $a^{X} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{X^{5} e^{X} - e^{X} \frac{d}{d X} [X^{5}]}{X^{10}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ est $n X^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{X^{5} e^{X} - e^{X} (5 X^{4})}{X^{10}}$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{X^{5} e^{X} - 5 e^{X} X^{4}}{X^{10}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $X^{5} e^{X} - 5 e^{X} X^{4}$ .

$\frac{X^{5} e^{X} - 5 X^{4} e^{X}}{X^{10}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{X} X^{5} - 5 e^{X} X^{4}}{X^{10}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $X^{4}$ à partir de $e^{X} X^{5} - 5 e^{X} X^{4}$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $X^{4}$ à partir de $e^{X} X^{5}$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} X) - 5 e^{X} X^{4}}{X^{10}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $X^{4}$ à partir de $- 5 e^{X} X^{4}$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} X) + X^{4} (- 5 e^{X})}{X^{10}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $X^{4}$ à partir de $X^{4} (e^{X} X) + X^{4} (- 5 e^{X})$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} X - 5 e^{X})}{X^{10}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $e^{X}$ à partir de $e^{X} X - 5 e^{X}$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $e^{X}$ à partir de $e^{X} X$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} (X) - 5 e^{X})}{X^{10}}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $e^{X}$ à partir de $- 5 e^{X}$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} (X) + e^{X} \cdot - 5)}{X^{10}}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $e^{X}$ à partir de $e^{X} (X) + e^{X} \cdot - 5$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} (X - 5))}{X^{10}}$

$\frac{X^{4} e^{X} (X - 5)}{X^{10}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $X^{4}$ et $X^{10}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $X^{4}$ à partir de $X^{4} e^{X} (X - 5)$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} (X - 5))}{X^{10}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $X^{4}$ à partir de $X^{10}$ .

$\frac{X^{4} (e^{X} (X - 5))}{X^{4} X^{6}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{X^{4} (e^{X} (X - 5))}{X^{4} X^{6}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{X} (X - 5)}{X^{6}}$