Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (x) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 1 (- x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Réécrivez $- (2 x^{2} - x - 2)$ comme $- 1 (2 x^{2} - x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (2 x^{2} - x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$