Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Étape 3.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{3} - 7 x^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 5

Placez $x^{\frac{4}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

Étape 6.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

Étape 6.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 6 x - 7$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 10

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 12.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 14

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 15

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2

Associez des termes.

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Étape 16.2.1

Associez $6$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.3

Associez $x$ et $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.4

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.5

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 16.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.6.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.7

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.8.4

Divisez $4 x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.9

Associez $- 7$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.10

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16.2.12

Additionnez $6 x^{\frac{2}{3}}$ et $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$