Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x \ln (x)}$ comme ${(x \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $x \ln (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Étape 7.3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun à $\ln (x)$ et $\ln^{2} (x)$ .

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Étape 7.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Étape 7.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.3.2.1

Factorisez $\ln (x)$ à partir de $x^{2} \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Étape 7.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Étape 7.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$