Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sec (\frac{1}{x})}$

Étape 1

Réécrivez $\sec (\frac{1}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [1 \cos (\frac{1}{x})]$

Étape 3

Multipliez $\cos (\frac{1}{x})$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Étape 5.3

Multipliez.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\sin (\frac{1}{x})$ par $1$ .

$\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6.2

Associez $\sin (\frac{1}{x})$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$