Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10 t}{1 + t^{2}}$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{10 t}{1 + t^{2}}$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 + t^{2}$ par $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 8

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$10 \frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 9

Associez $10$ et $\frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{10 (1 - t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{10 - 10 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 10 t^{2} + 10}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$