Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{1 - x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$2 \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 \frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 3.9.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 \frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9.4

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$