Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10 \log_{4} (x)}{x}$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10 \log_{4} (x)}{x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \log_{4} (x)$ et $g (x) = x$ .

$10 \frac{x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)] - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\log_{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{x \frac{1}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$10 \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ par $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$10 (\frac{\ln (4)}{\ln (4)} \cdot \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$10 \frac{\ln (4) (\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \cdot 1)}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 8.2

Associez $10$ et $\frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$ .

$\frac{10 (1 + \ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (4)$ et $10$ .

$\frac{10 + 10 \cdot \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.2.1.2.2

Simplifiez $10 \cdot \ln (4)$ en déplaçant $10$ dans le logarithme.

$\frac{10 + \ln (4^{10}) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $10$ .

$\frac{10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))$ .

$\frac{10 - \ln (1048576) \log_{4} (x)}{\ln (4) x^{2}}$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \ln (1048576) \log_{4} (x) + 10}{x^{2} \ln (4)}$