Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + 0)$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $5 {(x + 4)}^{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.3

Associez $5 {(x + 4)}^{4}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1 + 10 {(x + 4)}^{4} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{4} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$