Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Étape 1

Factorisez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{3} x}]$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \sqrt[3]{x})]$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \cdot x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x^{1} x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{1 + \frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}]$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3 + 1}{3}}]$

Étape 4.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 p}$ comme ${(3 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d p} [{(3 p)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 5.2

Factorisez $3$ à partir de $3 p$ .

$\frac{d}{d p} [{(3 (p))}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $3 (p)$ .

$\frac{d}{d p} [3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 6

Comme $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $p$ est $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{- \frac{1}{2}})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $p^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14

Associez $3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{4}{3}} \frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 15

Associez $x^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} (3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Étape 16

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.1

Placez $p^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$