Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \log_{8} (\frac{x^{2} - 5}{x - 10})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{8} (x)$ et $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{8} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 5}{x - 10} \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 2

Associez $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ et $\ln (8)$ .

$\frac{1}{\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}$ .

$1 \frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ par $1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 5$ et $g (x) = x - 10$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 10$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 \cdot (x - 10) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.7

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.8

Associez les fractions.

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Étape 6.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 6.8.3

Multipliez $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ par $\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}}$

Étape 7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1

Factorisez $x - 10$ à partir de $(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}$ .

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.5.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x - 10) (x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8))}$