Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 - \cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 9.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.5

Réorganisez les termes.

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$