Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$ comme ${(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 2 x$ et $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.13

Simplifiez les termes.

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Étape 9.13.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 9.13.2

Multipliez $\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4

Annulez le facteur commun à $- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)$ et $2$ .

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Étape 9.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (1 + 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) - 2 (1 - 2 x)}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (1 - 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.13.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 ({(1 + 2 x)}^{2})} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.13.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5

Associez des termes.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.5

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.6

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{0 - 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.7

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{- 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.9

Multipliez $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 10.5.10

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 10.5.11

Placez ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 10.5.12

Multipliez ${(1 + 2 x)}^{2}$ par ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.12.1

Déplacez ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2})}$

Étape 10.5.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Étape 10.5.12.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 10.5.12.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.5.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.5.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.12.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Étape 10.5.12.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$