Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x - 3$ et $0$ .

$4 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x - 3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - 3$ .

$4 x - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4$

Étape 9

$x = \frac{3}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{4}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3}{4}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = 2 {(\frac{3}{4})}^{2} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $- 3 (\frac{3}{4})$ .

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Étape 10.2.1.5.1

Associez $- 3$ et $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 1$

Étape 10.2.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 1$

Étape 10.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 1$

Étape 10.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1$

Étape 10.2.2.3

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 10.2.2.4

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 10.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 10.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 10.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Étape 10.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 1 \cdot 8}{8}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 8}{8}$

Étape 10.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 8}{8}$

Étape 10.2.5.2

Soustrayez $8$ de $- 9$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 17}{8}$

Étape 10.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est $- \frac{17}{8}$ .

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{17}{8})$ est un minimum local

Étape 12