Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{\arctan (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (1 + x^{2})$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ et $\arctan (x)$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (2 x) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Associez $2$ et $\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} x - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 6

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 7

Associez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ et $\ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.3

Multipliez ${\arctan (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.4

Factorisez ${\arctan (x)}^{2}$ à partir de ${\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Étape 8.4.2

Factorisez ${\arctan (x)}^{2}$ à partir de $x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}}$

Étape 8.4.3

Factorisez ${\arctan (x)}^{2}$ à partir de ${\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} (1 + x^{2})}$