Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\frac{- 1}{x - 2}}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x - 2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{1}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{1}{x - 2}$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x - 2}$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (1 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.2

Multipliez ${(x - 2)}^{- 2}$ par $1$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.6.2

Multipliez ${(x - 2)}^{- 2}$ par $1$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \cdot 0)$

Étape 6.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $0$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + 0)$

Étape 6.8.2

Additionnez ${(x - 2)}^{- 2}$ et $0$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Associez $e^{- \frac{1}{x - 2}}$ et $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x - 2}}}{{(x - 2)}^{2}}$