Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{72}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{72}{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{48}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ comme ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Étape 2.9

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

Étape 2.11

Additionnez $3$ et $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

Étape 2.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

Étape 2.13

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

Étape 2.14

Élevez $3 x + 1$ à la puissance $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

Étape 2.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

Étape 2.16

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

Étape 2.17

Associez $- 6$ et $\frac{48}{5}$ .

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Étape 2.18

Multipliez $- 6$ par $48$ .

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Étape 2.19

Associez $\frac{- 288}{5}$ et ${(3 x + 1)}^{- 3}$ .

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

Étape 2.20

Placez ${(3 x + 1)}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Étape 3

Soustrayez $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$