Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[7]{9 x^{3}}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{9 x^{3}}$ comme ${(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Étape 1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x^{3}))}^{\frac{1}{7}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de produit à $9 (x^{3})$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} {(x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{3 (\frac{1}{7})}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}]$

Étape 2

Comme $9^{\frac{1}{7}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}$ par rapport à $x$ est $9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})$

Étape 7.2

Soustrayez $7$ de $3$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})$

Étape 9

Associez $\frac{3}{7}$ et $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 10

Associez $9^{\frac{1}{7}}$ et $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ .

$\frac{9^{\frac{1}{7}} (3 x^{- \frac{4}{7}})}{7}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 11.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{7})} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 11.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 13

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{7} + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7 + 2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 15

Additionnez $7$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Étape 16

Placez $x^{- \frac{4}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}}}{7 x^{\frac{4}{7}}}$