Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 2.3

Multipliez ${(7 x - 6)}^{6}$ par $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 7 x - 6$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(7 x - 6)}^{5}$ à partir de ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(7 x - 6)}^{5}$ à partir de ${(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(7 x - 6)}^{5}$ à partir de $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(7 x - 6)}^{5}$ à partir de ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(7 x - 6)}^{5}$ à partir de ${(7 x - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 9

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 11

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 11.2

Multipliez $7$ par $- 6$ .

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 11.3

Soustrayez $42 x$ de $7 x$ .

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 35 x$ .

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 12.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (35 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 12.4

Réécrivez $- (35 x + 6)$ comme $- 1 (35 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$