Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $x + \frac{c}{x}$ par $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 4

Associez.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{c}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 17

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{c}{x}$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 18

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.3

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{c}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.1.6

Multipliez $c$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.2.2

Additionnez $c$ et $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.3.3

Additionnez $c$ et $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.4.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Étape 20.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Étape 20.4.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Étape 20.4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 20.5

Associez $x$ et $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 20.6

Réduisez l’expression $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Étape 20.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Étape 20.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Étape 20.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Étape 20.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Étape 20.8

Multipliez $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.8.1

Associez $2$ et $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Étape 20.8.2

Associez $c$ et $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Étape 20.9

Déplacez $2$ à gauche de $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$