Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{7} {(5 + 8 x)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = {(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(5 + 8 x)}^{3}] + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 5 + 8 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 + 8 x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 + 8 x$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \cdot 1) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.7

Multipliez $24$ par $1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} (7 x^{6})$

Étape 3.9

Déplacez $7$ à gauche de ${(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 \cdot {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ à partir de $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ à partir de $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2})$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ à partir de $7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$

Étape 4.1.3

Factorisez $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ à partir de $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24) + 7 (5 + 8 x))$

Étape 4.2

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (24 x + 7 (5 + 8 x))$