Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Étape 3

Remplacez $8$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $8$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $8$ dans le polynôme.

$2 \cdot 8^{3} - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 512 - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $512$ .

$1024 - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$1024 - 17 \cdot 64 + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.5

Multipliez $- 17$ par $64$ .

$1024 - 1088 + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.6

Soustrayez $1088$ de $1024$ .

$- 64 + 9 \cdot 8 - 8$

Étape 3.7

Multipliez $9$ par $8$ .

$- 64 + 72 - 8$

Étape 3.8

Additionnez $- 64$ et $72$ .

$8 - 8$

Étape 3.9

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 4

Comme $8$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 8$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8}{x - 8}$

Étape 5

Divisez $2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$ par $x - 8$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$8$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$8$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			+	$2 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 16 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 8 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							+	$x$	-	$8$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 8$

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							-	$x$	+	$8$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							-	$x$	+	$8$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - x + 1$

Étape 6

Écrivez $2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 8) (2 x^{2} - x + 1)$