Calcul infinitésimal Exemples

$2 - 15 x + 9 x^{2} - x^{3}$

Étape 1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$

Étape 2

Factorisez $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$- 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 9 \cdot 4 - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.5

Multipliez $9$ par $4$ .

$- 8 + 36 - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.6

Additionnez $- 8$ et $36$ .

$28 - 15 \cdot 2 + 2$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$28 - 30 + 2$

Étape 2.3.8

Soustrayez $30$ de $28$ .

$- 2 + 2$

Étape 2.3.9

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2}{x - 2}$

Étape 2.5

Divisez $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ par $x - 2$ .

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Étape 2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$15 x$

$2$

Étape 2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$

Étape 2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Étape 2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Étape 2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{2} - 14 x$

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Étape 2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$

Étape 2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Étape 2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Étape 2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Étape 2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Étape 2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Étape 2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 7 x - 1$

Étape 2.6

Écrivez $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (- x^{2} + 7 x - 1)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 7 x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) + 7 x - 1)$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $7 x$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1)$

Étape 3.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1 (1))$

Étape 3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 7 x)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x) - 1 (1))$

Étape 3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 7 x) - 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x + 1))$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) \cdot - 1 (x^{2} - 7 x + 1)$

Étape 4

Factorisez le signe négatif.

$- ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 1))$

Étape 5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 2) (x^{2} - 7 x + 1)$