Calcul infinitésimal Exemples

$z^{7} - 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{7} - 1$

Étape 3.2

Élevez $1$ à la puissance $7$ .

$1 - 1$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $z - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{z^{7} - 1}{z - 1}$

Étape 5

Divisez $z^{7} - 1$ par $z - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{7}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{7} - z^{6}$

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{6} - z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{5} - z^{4}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Étape 5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Étape 5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Étape 5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Étape 5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{4} - z^{3}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Étape 5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Étape 5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Étape 5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Étape 5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Étape 5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{3} - z^{2}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Étape 5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Étape 5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Étape 5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Étape 5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Étape 5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{2} - z$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Étape 5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Étape 5.31

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Étape 5.32

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Étape 5.33

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Étape 5.34

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z - 1$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Étape 5.35

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$0$

Étape 5.36

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1$

Étape 6

Écrivez $z^{7} - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(z - 1) (z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$