Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ est indéfinie.

$x = 2$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 6.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 2}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 2}$

Étape 6.1.2.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 1$

Étape 8