Calcul infinitésimal Exemples

$R (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$ est indéfinie.

$x = - 5, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la droite, $x = - 5$ est une asymptote verticale.

$x = - 5$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 3^{3}}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 6.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.1.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 6.1.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 6.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 5}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$3 x$

$9$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 5 x$

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$	+	$9$

Étape 6.8

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$	+	$9$

Étape 6.9

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$	+	$9$
					-	$2 x$	-	$10$

Étape 6.10

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 10$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$	+	$9$
					+	$2 x$	+	$10$

Étape 6.11

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x$	+	$9$
					+	$2 x$	+	$10$
							+	$19$

Étape 6.12

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 2 + \frac{19}{x + 5}$

Étape 6.13

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$x - 2 + \frac{19 x - 57}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 6.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 2$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 5$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 2$

Étape 8