Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 5.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t}$ approche de $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$0 + 1$

Étape 5.4.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$