Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ est indéfinie.

$x = - 7, x = 7$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 7$ depuis la gauche et $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 7$ depuis la droite, $x = - 7$ est une asymptote verticale.

$x = - 7$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $7$ depuis la gauche et $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $7$ depuis la droite, $x = 7$ est une asymptote verticale.

$x = 7$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 7, 7$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7^{2}}$

Étape 8.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{x^{3}}{(x + 7) (x - 7)}$

Étape 8.2

Développez $(x + 7) (x - 7)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x (x - 7) + 7 (x - 7)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 7$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Étape 8.2.9

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7 x + 7 x - 49}$

Étape 8.2.10

Additionnez $- 7 x$ et $7 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 0 - 49}$

Étape 8.2.11

Soustrayez $49$ de $0$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 49 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Étape 8.8

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

$0$

Étape 8.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{49 x}{x^{2} - 49}$

Étape 8.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 7, 7$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 10