Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2} + 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Étape 3.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 3.5.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Étape 3.5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 3.5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 3.5.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 3.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite.

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Étape 3.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.2.1

Divisez $5 + 0$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.2.2.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Étape 3.7.2.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{25}}$

Étape 3.7.2.2.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 3.7.2.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{5}$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2} + 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Étape 4.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite.

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 4.5.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Étape 4.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Étape 4.5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 4.5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 4.5.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 4.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 4.7

Évaluez la limite.

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Étape 4.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Étape 4.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.7.2.1

Divisez $5 + 0$ par $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.7.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Étape 4.7.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Étape 4.7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.2.3.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Étape 4.7.2.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{25}}$

Étape 4.7.2.3.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 4.7.2.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{5}$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8