Calcul infinitésimal Exemples

${(n + 1)}^{4} - 1$

Étape 1

Réécrivez ${(n + 1)}^{4}$ comme ${({(n + 1)}^{2})}^{2}$ .

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(n + 1)}^{2}$ et $b = 1$ .

$({(n + 1)}^{2} + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(n + 1)}^{2}$ comme $(n + 1) (n + 1)$ .

$((n + 1) (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.2

Développez $(n + 1) (n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(n (n + 1) + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$(n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$(n^{2} + 2 n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Étape 4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1^{2})$

Étape 4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n + 1$ et $b = 1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 1 + 1) (n + 1 - 1))$

Étape 4.7

Factorisez.

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Étape 4.7.1

Simplifiez

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Étape 4.7.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 1 - 1))$

Étape 4.7.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 0))$

Étape 4.7.1.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) n)$

Étape 4.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(n^{2} + 2 n + 2) (n + 2) n$