Calcul infinitésimal Exemples

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Étape 3

Laissez $u = - 3 x + 5$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 3 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- 3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

Étape 4.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Étape 8.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Étape 11.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x + 5$ .

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$