Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{x - 1}$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - \int e^{x - 1} (2 x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} e^{x - 1} - (2 \int e^{x - 1} (x) d x)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 \int e^{x - 1} (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{x - 1} d x)$

Étape 5

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$

Étape 7

Réécrivez $x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$ comme $x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{x - 1} + C$