Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

Étape 7

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 8

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$